Kokia yra funkcijos riba

Šiame leidinyje nagrinėsime vieną pagrindinių matematinės analizės sąvokų – funkcijos ribą: jos apibrėžimą, taip pat įvairius sprendimus su praktiniais pavyzdžiais.

Funkcijos ribos nustatymas

Funkcijos riba – reikšmė, į kurią linksta šios funkcijos reikšmė, kai jos argumentas linksta į ribinį tašką.

Limit įrašas:

• riba nurodoma piktograma kalkės;
• žemiau pridedama, į kokią reikšmę linksta funkcijos argumentas (kintamasis). Paprastai tai x, bet nebūtinai, pavyzdžiui:x→1″;
• tada pati funkcija pridedama dešinėje, pavyzdžiui:

  

Taigi galutinis limito įrašas atrodo taip (mūsų atveju):

Skaito kaip „Funkcijos riba kaip x linkusi į vienybę“.

x→ 1 – tai reiškia, kad „x“ nuosekliai perima vertybes, kurios be galo artėja prie vienybės, bet niekada su ja nesutaps (ji nebus pasiekta).

Sprendimų ribos

Su nurodytu numeriu

Išspręskime aukščiau nurodytą ribą. Norėdami tai padaryti, tiesiog pakeiskite vienetą funkcijoje (nes x→1):

Taigi, norėdami išspręsti ribą, pirmiausia bandome tiesiog pakeisti nurodytą skaičių į žemiau esančią funkciją (jei x yra linkęs į konkretų skaičių).

Su begalybe

Šiuo atveju funkcijos argumentas didėja be galo, tai yra, "X" linkęs į begalybę (∞). Pavyzdžiui:

If x→∞, tada duotoji funkcija linkusi į minus begalybę (-∞), nes:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 ir tt

Kitas sudėtingesnis pavyzdys

Norėdami išspręsti šią ribą, tiesiog padidinkite reikšmes x ir pažvelkite į funkcijos „elgseną“ šiuo atveju.

• RџSЂRё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂRё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџSЂRё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Taigi, už "X"linkęs į begalybę, funkcija x² +3x –6 auga neribotą laiką.

Su neapibrėžtumu (x linkęs į begalybę)

Šiuo atveju kalbame apie ribas, kai funkcija yra trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai. Kuriame "X" linkęs į begalybę.

Pavyzdys: apskaičiuokime žemiau esančią ribą.

Sprendimas

Tiek skaitiklio, tiek vardiklio išraiškos linkusios į begalybę. Galima daryti prielaidą, kad šiuo atveju sprendimas bus toks:

Tačiau ne viskas taip paprasta. Norėdami išspręsti ribą, turime atlikti šiuos veiksmus:

1. Raskite x iki didžiausios skaitiklio laipsnio (mūsų atveju tai yra du).

2. Panašiai apibrėžiame x iki didžiausios vardiklio laipsnio (taip pat lygus dviem).

3. Dabar ir skaitiklį, ir vardiklį dalijame iš x vyresnysis laipsnis. Mūsų atveju, abiem atvejais – antruoju, bet jei jie būtų skirtingi, turėtume imti aukščiausią laipsnį.

4. Gautame rezultate visos trupmenos linkusios į nulį, todėl atsakymas yra 1/2.

Su neapibrėžtumu (x linkęs į konkretų skaičių)

Ir skaitiklis, ir vardiklis yra daugianariai, tačiau "X" linkęs į konkretų skaičių, o ne į begalybę.

Šiuo atveju sąlyginai užmerkiame akis, kad vardiklis būtų lygus nuliui.

Pavyzdys: Toliau suraskime funkcijos ribą.

Sprendimas

1. Pirma, pakeiskime skaičių 1 į funkciją, į kurią "X". Gauname svarstomos formos neapibrėžtumą.

2. Toliau skaitiklį ir vardiklį išskaidome į veiksnius. Norėdami tai padaryti, galite naudoti sutrumpintas daugybos formules, jei jos tinka, arba.

Mūsų atveju išraiškos šaknys skaitiklyje (2x² – 5x + 3 = 0) yra skaičiai 1 ir 1,5. Todėl jis gali būti pavaizduotas taip: 2(x-1)(x-1,5).

Vardiklis (x–1) iš pradžių yra paprasta.

3. Gauname tokį modifikuotą limitą:

4. Trupmeną galima sumažinti (x–1):

5. Belieka tik pakeisti skaičių 1 išraiškoje, gautoje pagal ribą: