Šiame leidinyje nagrinėsime vieną iš klasikinių afininės geometrijos teoremų – Ceva teoremą, kuri gavo tokį pavadinimą italų inžinieriaus Džovanio Čevos garbei. Taip pat išanalizuosime problemos sprendimo pavyzdį, siekdami konsoliduoti pateiktą medžiagą.
Teoremos teiginys
Duotas trikampis ABC, kuriame kiekviena viršūnė yra sujungta su tašku priešingoje pusėje.
Taigi gauname tris segmentus (AA', BB' и CC'), kurie vadinami cevians.
Šios atkarpos susikerta viename taške tada ir tik tada, kai galioja ši lygybė:
|IR'| |NE'| |CB'| = |BC'| |SHIFT'| |AB'|
Teorema taip pat gali būti pateikta tokia forma (nustatoma, kokiu santykiu taškai dalija puses):
Cevos trigonometrinė teorema
Pastaba: visi kampai yra orientuoti.
Problemos pavyzdys
Duotas trikampis ABC su taškais KAM, B' и VS ' šonuose BC, AC и AB, atitinkamai. Trikampio viršūnės sujungtos su duotais taškais, o suformuotos atkarpos eina per vieną tašką. Tuo pačiu ir taškai KAM и B' paimti atitinkamų priešingų kraštinių vidurio taškuose. Sužinokite, kokiu santykiu taškas VS ' dalija pusę AB.
Sprendimas
Nubraižykime brėžinį pagal uždavinio sąlygas. Kad būtų patogiau, naudojame tokį užrašą:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Belieka tik sudaryti segmentų santykį pagal Ceva teoremą ir į jį pakeisti priimtą užrašą:
Sumažinus trupmenas gauname:
Taigi, AC' = C'B, ty taškas VS ' dalija pusę AB per pusę.
Todėl mūsų trikampyje segmentai AA', BB' и CC' yra medianos. Išsprendę uždavinį, įrodėme, kad jie susikerta viename taške (galioja bet kuriam trikampiui).
Pastaba: naudojant Cevos teoremą, galima įrodyti, kad trikampyje viename taške susikerta ir pusiausvyros arba aukščiai.