Kompleksinio skaičiaus šaknies ištraukimas

Šiame leidinyje apžvelgsime, kaip galite paimti kompleksinio skaičiaus šaknį ir kaip tai gali padėti sprendžiant kvadratines lygtis, kurių diskriminantas yra mažesnis už nulį.

Kompleksinio skaičiaus šaknies ištraukimas

Kvadratinė šaknis

Kaip žinome, neįmanoma paimti neigiamo tikrojo skaičiaus šaknies. Tačiau kalbant apie kompleksinius skaičius, šį veiksmą galima atlikti. Išsiaiškinkime.

Tarkime, kad turime numerį z = -9. Forumas √-9 yra dvi šaknys:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Patikrinkime gautus rezultatus spręsdami lygtį z² =-9, nepamirštant to i² =-1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ aš² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ aš² = 9 ⋅ (-1) = -9

Taigi mes tai įrodėme -3i и 3i yra šaknys √-9.

Neigiamojo skaičiaus šaknis paprastai rašoma taip:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i ir taip toliau

Šaknis į n galią

Tarkime, kad mums pateikiamos formos lygtys z = ⁿ√w… Tai turi n šaknys (z₀Or₁Or₂,…, z_n-1), kurį galima apskaičiuoti naudojant toliau pateiktą formulę:

|w| yra kompleksinio skaičiaus modulis w;

φ – jo argumentas

k yra parametras, kuris paima reikšmes: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Kvadratinės lygtys su sudėtingomis šaknimis

Ištraukus neigiamo skaičiaus šaknį, pasikeičia įprasta uXNUMXbuXNUMXb idėja. Jei diskriminuojantis (D) yra mažesnis už nulį, tada realių šaknų negali būti, bet jas galima pavaizduoti kaip kompleksinius skaičius.

Pavyzdys

Išspręskime lygtį x² – 8x + 20 = 0.

Sprendimas

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 – 80 = -16

D < 0, bet vis tiek galime paimti neigiamo diskriminanto šaknį:

√D = √-16 = ±4i

Dabar galime apskaičiuoti šaknis:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Todėl lygtis x² – 8x + 20 = 0 turi dvi sudėtingas konjuguotas šaknis:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i