Šiame leidinyje mes apsvarstysime, kas yra Gauso metodas, kodėl jis reikalingas ir koks jo principas. Taip pat naudodamiesi praktiniu pavyzdžiu parodysime, kaip metodą galima pritaikyti tiesinių lygčių sistemai išspręsti.
Gauso metodo aprašymas
Gauso metodas yra klasikinis nuoseklaus kintamųjų pašalinimo metodas, naudojamas spręsti . Jis pavadintas vokiečių matematiko Carlo Friedricho Gauso (1777-1885) vardu.
Tačiau pirmiausia prisiminkime, kad SLAU gali:
- turėti vieną vienintelį sprendimą;
- turėti begalinį sprendimų skaičių;
- būti nesuderinami, ty neturi sprendimų.
Praktinė nauda
Gauso metodas yra puikus būdas išspręsti SLAE, apimančią daugiau nei tris tiesines lygtis, taip pat sistemas, kurios nėra kvadratinės.
Gauso metodo principas
Metodas apima šiuos veiksmus:
- tiesiai – lygčių sistemą atitinkanti padidinta matrica, beje, virš eilučių redukuojama į viršutinę trikampę (laiptuotą) formą, ty po pagrindine įstrižane turi būti tik nuliui lygūs elementai.
- atgal – gautoje matricoje virš pagrindinės įstrižainės esantys elementai taip pat nustatomi į nulį (apatinis trikampis vaizdas).
SLAE sprendimo pavyzdys
Išspręskime žemiau pateiktą tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu.
Sprendimas
1. Pirmiausia pateikiame SLAE išplėstos matricos pavidalu.
2. Dabar mūsų užduotis yra iš naujo nustatyti visus elementus pagal pagrindinę įstrižainę. Tolesni veiksmai priklauso nuo konkrečios matricos, toliau apibūdinsime tuos, kurie taikomi mūsų atveju. Pirmiausia sukeičiame eilutes, todėl pirmieji jų elementai išdėstomi didėjančia tvarka.
3. Iš antros eilės du kartus atimkite pirmąją, o iš trečios – trigubai pirmąją.
4. Pridėkite antrą eilutę prie trečios eilutės.
5. Iš pirmosios eilutės atimkite antrąją eilutę, o tuo pačiu padalykite trečią eilutę iš -10.
6. Pirmas etapas baigtas. Dabar turime gauti nulinius elementus virš pagrindinės įstrižainės. Norėdami tai padaryti, iš pirmosios eilutės atimkite trečiąjį, padaugintą iš 7, ir pridėkite trečiąjį, padaugintą iš 5, prie antrosios.
7. Galutinė išplėstinė matrica atrodo taip:
8. Tai atitinka lygčių sistemą:
Atsakymas: šaknis SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.