Turinys
Šiame leidinyje apžvelgsime matricos rango apibrėžimą, taip pat būdus, kuriais jį galima rasti. Taip pat analizuosime pavyzdžius, kad parodytume teorijos taikymą praktikoje.
Matricos rango nustatymas
Matricos rangas yra jos eilučių arba stulpelių sistemos rangas. Bet kuri matrica turi savo eilučių ir stulpelių eiles, kurios yra lygios viena kitai.
Eilučių sistemos rangas yra didžiausias tiesiškai nepriklausomų eilučių skaičius. Stulpelių sistemos rangas nustatomas panašiai.
Pastabos:
- Nulinės matricos rangas (žymimas simboliu "θ“) bet kokio dydžio yra nulis.
- Bet kurio nulinės eilės vektoriaus arba stulpelio vektoriaus rangas yra lygus vienetui.
- Jei bet kokio dydžio matricoje yra bent vienas elementas, kuris nėra lygus nuliui, tai jos rangas yra ne mažesnis nei vienas.
- Matricos rangas yra ne didesnis nei jos minimalus matmuo.
- Matricoje atliekamos elementarios transformacijos nekeičia jos rango.
Matricos rango radimas
Fringing Minor metodas
Matricos rangas yra lygus didžiausiai nuliui skirtumo tvarkai.
Algoritmas yra toks: rasti nepilnamečius nuo žemiausių iki aukščiausių. Jei nepilnametis neilė nėra lygi nuliui, o visos vėlesnės (n+1) yra lygūs 0, taigi matricos rangas yra n.
Pavyzdys
Kad būtų aiškiau, paimkime praktinį pavyzdį ir suraskime matricos rangą A toliau, taikant ribojimo su nepilnamečiais metodą.
Sprendimas
Turime reikalą su 4 × 4 matrica, todėl jos rangas negali būti aukštesnis nei 4. Taip pat matricoje yra elementų, kurie skiriasi nuo nulio, vadinasi, jos rangas yra ne mažesnis už vienetą. Taigi pradėkime:
1. Pradėkite tikrinti antros eilės nepilnamečiai. Pirmiausia paimame dvi pirmojo ir antrojo stulpelių eilutes.
Mažasis lygus nuliui.
Todėl pereiname prie kito nepilnamečio (lieka pirmas stulpelis, o vietoj antrojo imame trečią).
Minoras yra 54≠0, taigi matricos rangas yra bent du.
Pastaba: Jei šis nepilnametis būtų lygus nuliui, toliau tikrintume šiuos derinius:
Jei reikia, išvardijimą galima tęsti tokiu pačiu būdu su eilutėmis:
- 1 ir 3;
- 1 ir 4;
- 2 ir 3;
- 2 ir 4;
- 3 ir 4.
Jei visi antros eilės nepilnamečiai būtų lygūs nuliui, tai matricos rangas būtų lygus vienetui.
2. Beveik iš karto pavyko rasti mums tinkantį nepilnametį. Taigi pereikime prie trečios eilės nepilnamečiai.
Prie rasto antros eilės minoro, davusio ne nulį rezultatą, pridedame vieną eilutę ir vieną iš žaliai paryškintų stulpelių (pradedame nuo antrojo).
Nepilnametis pasirodė esąs nulis.
Todėl antrą stulpelį keičiame į ketvirtą. O antruoju bandymu pavyksta rasti minorą, kuris nėra lygus nuliui, vadinasi, matricos rangas negali būti mažesnis nei 3.
Pastaba: jei rezultatas vėl pasirodytų lygus nuliui, vietoj antros eilės ketvirtą patrauktume toliau ir tęstume „gero“ nepilnamečio paieškas.
3. Dabar belieka nustatyti ketvirtos eilės nepilnamečiai remiantis tuo, kas buvo rasta anksčiau. Šiuo atveju jis atitinka matricos determinantą.
Mažasis lygus 144≠0. Tai reiškia, kad matricos rangas A lygus 4.
Matricos redukcija į laiptuotą formą
Žingsnio matricos rangas yra lygus jos nulinių eilučių skaičiui. Tai yra, tereikia perkelti matricą į atitinkamą formą, pavyzdžiui, naudojant , kuri, kaip minėjome aukščiau, nekeičia savo rango.
Pavyzdys
Raskite matricos rangą B žemiau. Neimame pernelyg sudėtingo pavyzdžio, nes pagrindinis mūsų tikslas yra tiesiog parodyti metodo taikymą praktikoje.
Sprendimas
1. Pirmiausia iš antrosios eilutės atimkite padvigubintą pirmąjį.
2. Dabar iš trečios eilės atimkite pirmąją eilutę, padaugintą iš keturių.
Taigi gavome žingsninę matricą, kurioje nulinių eilučių skaičius yra lygus dviem, todėl jos rangas taip pat lygus 2.