Šioje publikacijoje nagrinėsime vieną pagrindinių Euklido geometrijos teoremų – Stiuarto teoremą, kuri gavo tokį pavadinimą jį įrodusio anglų matematiko M. Stewarto garbei. Taip pat išsamiai išanalizuosime problemos sprendimo pavyzdį, kad konsoliduotume pateiktą medžiagą.
Teoremos teiginys
Dano trikampis ABC. Prie jo pusės AC taškas paimtas D, kuris yra prijungtas prie viršaus B. Mes priimame šią žymą:
- AB = a
- BC = b
- BD = p
- AD = x
- DC = ir
Šiam trikampiui yra teisinga lygybė:
Teoremos taikymas
Iš Stiuarto teoremos galima išvesti formules, kaip rasti trikampio medianas ir pusiausvyras:
1. Bisektoriaus ilgis
Leisti lc yra pusiausvyra, nubrėžta į šoną c, kuris yra padalintas į segmentus x и y. Paimkime kitas dvi trikampio kraštines kaip a и b… Tokiu atveju:
2. Vidutinis ilgis
Leisti mc yra mediana pasukta žemyn į šoną c. Kitas dvi trikampio kraštines pažymėkime kaip a и b… Tada:
Problemos pavyzdys
Duotas trikampis ABC. Šone AC lygus 9 cm, taškas paimtas D, kuris dalija šoną taip, kad AD dvigubai ilgesnis DC. Atkarpos, jungiančios viršūnę, ilgis B ir taškas D, yra 5 cm. Šiuo atveju suformuotas trikampis ABD yra lygiašonis. Raskite likusias trikampio kraštines ABC.
Sprendimas
Pavaizduokime problemos sąlygas brėžinio pavidalu.
AC = AD + DC = 9 cm. AD ilgiau DC du kartus, t AD = 2DC.
Todėl 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX cm. Taigi, DC = 3 cm, AD = 6 cm.
Nes trikampis ABD – lygiašonis, ir šoninis AD yra 6 cm, todėl jie yra lygūs AB и BDIe AB = 5 cm.
Belieka tik surasti BC, išvedant formulę iš Stewarto teoremos:
Šia išraiška pakeičiame žinomas reikšmes:
Tokiu būdu, BC = √52 ≈ 7,21 cm.