Fermato mažoji teorema

Šiame leidinyje apžvelgsime vieną iš pagrindinių sveikųjų skaičių teorijos teoremų –  Fermato mažoji teoremapavadintas prancūzų matematiko Pierre'o de Fermat vardu. Taip pat išanalizuosime problemos sprendimo pavyzdį, kad konsoliduotume pateiktą medžiagą.

Teoremos teiginys

1. Pradinė

If p yra pirminis skaičius a yra sveikasis skaičius, kuris nedalomas iš ptada a^P-1 - 1 padalintas iš p.

Formaliai parašyta taip: a^P-1 ≡ 1 (prieš p).

Pastaba: Pirminis skaičius yra natūralusis skaičius, kuris dalijasi tik iš XNUMX ir savęs be liekanos.

Pavyzdžiui:

• a = 2
• p = 5
• a^P-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• skaičius 15 padalintas iš 5 be likučio.

2. Alternatyva

If p yra pirminis skaičius, a bet koks sveikasis skaičius a^p palyginamas su a modulį p.

a^p ≡ a (prieš p)

Įrodymų radimo istorija

Pierre'as de Fermat'as suformulavo teoremą 1640 m., bet pats jos neįrodė. Vėliau tai padarė Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas, vokiečių filosofas, logikas, matematikas ir kt. Manoma, kad jis jau turėjo įrodymą 1683 m., nors jis niekada nebuvo paskelbtas. Pastebėtina, kad Leibnicas pats atrado teoremą, nežinodamas, kad ji jau buvo suformuluota anksčiau.

Pirmasis teoremos įrodymas buvo paskelbtas 1736 m. ir priklauso šveicarui, vokiečiui ir matematikui bei mechanikui Leonhardui Euleriui. Mažoji Ferma teorema yra ypatingas Eulerio teoremos atvejis.

Problemos pavyzdys

Raskite likusią skaičiaus dalį 2¹² on 12.

Sprendimas

Įsivaizduokime skaičių 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 yra pirminis skaičius, todėl pagal mažąją Ferma teoremą gauname:

2¹¹ ≡ 2 (prieš 11).

Taigi, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (prieš 11).

Taigi skaičius 2¹² padalintas iš 12 su likusia dalimi, lygia 4.